Fungsi eksponensial Fungsi logaritma

  

Fungsi eksponensial berbentuk a^x , dengan a adalah konstanta; contohnya adalah 2^x, 10^x  .

Fungsi logaritma adalah inverses dari fungsi eksponensial, yaitu fungsi yang "inverses " fungsi eksponensial, sama seperti, misalnya, fungsi akar pangkat tiga "inverses " fungsi pangkat tiga:  

 

Perhatikan bahwa fungsi asli juga membatalkan fungsi invers:

.

 

Misalkan f(x)=2^x . inverses dari fungsi ini disebut logaritma basis 2, dilambangkan dengan log₂(x) atau (khusus di kalangan ilmu komputer)  lg(x)

. Apa maksud sebenarnya dari hal ini? Logaritma harus membatalkan aksi fungsi eksponensial, jadi misalnya lg(2³)=3

—dimulai dengan 3, fungsi eksponensial menghasilkan 23=8 , dan logaritma dari 8 harus membawa kita kembali ke 3. Sedikit pemikiran menunjukkan bahwa bukan suatu kebetulan bahwa lg(2³) hanya memberikan eksponen—eksponennya adalah yang asli nilai yang harus kita kembalikan.

Dengan kata lain, logaritma adalah eksponen. Ingat slogan ini dan apa artinya, dan Anda tidak akan salah. (Anda harus mengingat artinya. Seperti mnemonik yang bagus, "logaritma adalah eksponen" tidak menyertakan banyak detail, seperti "Eksponen yang mana?" dan "Eksponen dari apa?'')

 

Berapa nilai log10(1000) ? Angka "10'' memberi tahu kita bilangan yang tepat untuk digunakan sebagai basis fungsi eksponensial. Logaritma adalah eksponennya, jadi pertanyaannya adalah, berapa eksponen E yang menghasilkan 10E=1000 ? Jika kita dapat menemukan E , maka log10( 1000)=log10(10E)=E, mencari eksponen yang sesuai sama dengan mencari logaritma, dalam hal ini tentu mudah: E=3 jadi log10(1000)=3

 

Mari kita tinjau beberapa hukum eksponen dan logaritma; biarkan a   menjadi bilangan positif. Karena a5=a⋅a⋅a⋅a⋅a dan a3=a⋅a⋅a, jelas bahwa a5⋅a3=a⋅a⋅a⋅a⋅a⋅a⋅a⋅a=a8=a5+3 , dan secara umum aman=am+n .

Karena "logaritma adalah eksponen", tidak mengherankan jika hal ini diterjemahkan langsung menjadi fakta tentang fungsi logaritma. Berikut tiga fakta dari contoh ini: loga(a⁵)=5 , loga(a³)=3 , loga(a⁸ )=8

. Jadi loga(a5a3)=loga(a⁸)=8=5+3=loga(a⁵)+loga(a³) . Sekarang mari kita buat ini sedikit lebih umum. Misalkan A dan B adalah dua bilangan, A=ax , dan B=ay .

Maka loga(AB)=loga(axay)=loga(ax+y)=x+y=loga(A)+loga(B)

.

 

Sekarang pertimbangkan (a⁵)³=a5⋅a5⋅a5=a5+5+5=a⁵⋅³=a¹⁵ . Sekali lagi jelas bahwa secara umum (a^m)ⁿ=a^mn , dan sekali lagi ini memberi kita fakta tentang logaritma. Jika A=a^x maka A^y=(a^x)^y=a^xy , jadi log_a(A^y)=x^y=ylog_a(A) —eksponennya bisa "ditarik ke depan".

Setelah bilangan bulat positif, bilangan berikutnya yang paling mudah dipahami adalah 0: 20=1 . Anda mungkin telah mempelajari fakta ini di masa lalu; kenapa itu benar? Hal ini benar karena kita ingin 2a2b=2a+b benar terhadap fungsi 2x . Kita harus benar bahwa 202x=20+x=2x , dan ini hanya berfungsi jika 2⁰=1 . Argumen yang sama menyiratkan bahwa a⁰=1 untuk sembarang a.

 

Kumpulan angka berikutnya yang paling mudah dipahami adalah bilangan bulat negatif: misalnya, 2⁻³=1/2³ . Kita tahu bahwa apa pun arti 2⁻³, pastilah 2⁻³2³=2⁻³+3=2⁰=1 , yang berarti 2⁻³ haruslah 1/2³ . Faktanya, dengan argumen yang sama, setelah kita mengetahui apa arti 2^x untuk beberapa nilai x , 2^−x pastilah 1/2^x dan lebih umum lagi a^−x=1/a^x .

 

Selanjutnya, pertimbangkan eksponen 1/q , di mana q adalah bilangan bulat positif. Kami ingin (2^x)^y=2^xy itu benar, jadi (2 ^1/q)^q=2 . Artinya 2 ^1/q   adalah akar ke-q dari 2  , 2 ^1/q=2^–√q . Hanya ini yang perlu kita pahami bahwa 2p/q=(2 ^1/q)^p=(2^–√q)^p dan          

   a ^p/q=(a ^1/q)^p=   

 

Yang tersisa adalah bagian yang sulit: apa arti 2x jika x tidak dapat ditulis sebagai pecahan, seperti x=2–√ atau x=π ? Apa yang kita ketahui sejauh ini adalah bagaimana memberi arti pada 2x setiap kali x=p/q ; jika kita membuat grafiknya kita akan melihat sesuatu seperti ini:

 

Diferensial Hiperbola Dan Diferensial Logaritma

11.1. Bilangan Eksponensial Dan Logaritma Natural

11.2. Diferensial Hiperbola

11.3. Diferensial Logaritma

 

Bagaimana kita menggambarkan  y=2^x  dan  y= log ₂ (x) = Ln (x)

 

Bagaimana hubungan keduanya dari grafik tersebut  menggabarkan saling memetakan diantara 2 hgraphik tersebut , Miror y = x

 

 

Bilangan Exponenial

https://www.detik.com/bali/berita/d-6474209/sifat-sifat-eksponen-pengertian-fungsi-dan-contohnya#:~:text=Kebudayaan%20(Kemdikbud).-,Pengertian%20Eksponen,dirinya%20sendiri%20secara%20berulang%2Dulang.