Dasar Dasar Turunan (Diferensial)

 

Secara umum, turunan fungsi memiliki definisi yaitu pengukuruan di mana hasil dari fungsi akan berubah sesuai dengan variabel yang kita masukan, atau secara umum suatu besaran yang berubah seiring perubahan besaran lainnya. Proses dalam menemukan turunan disebut sebagai diferensiasi.

Definisi Turunan Fungsi Aljabar

Turunan adalah pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai yang dimasukan, atau secara umum turunan menunjukkan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya. Proses dalam menemukan turunan disebut diferensiasi.

Turunan fungsi aljabar merupakan fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, sebagai contoh fungsi f menjadi f' yang memiliki nilai tidak beraturan. Fungsi dari turunan sendiri yang sering kita ketahui merupakan menghitung garis singgung pada suatu kurva atau fungsi dan kecepatan.

Dalam matematika,   akan dibahas mengenai materi diferensiasi atau biasa kita sebut sebagai turunan dari suatu fungsi. Selain itu, akan dibahas juga tentang penyelesaian turunan dari suatu fungsi tersebut menggunakan macam-macam fungsi yang tersedia di aplikasi R Studio ini. Berikut merupakan penjelasannya.

 

Diferensiasi (Turunan)

Turunan suatu fungsi berkaitan dengan materi limit fungsi dan gradien garis atau kemiringan garis di suatu titik tertentu. Lalu apa yang dimaksud dengan turunan?

Turunan fungsi (diferensial) ialah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi f’ yang memiliki nilai tak beraturan. Turunan (diferensial) dipakai sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan mekanika.

Dalam sumber lain mengatakan bahwa turunan suatu fungsi adalah gradien garis singgung fungsi tersebut yang berada di suatu titik tertentu.

 

Konsep Turunan Suatu Fungsi

 

 

 

 

Grafik fungsi di atas kita misalkan sebagai fungsi f(x) kontinu. Lalu, terdapat garis yang memotong fungsi f(x) tersebut di dua titik, yaitu titik A dan titik B. Garis yang memotong kurva tersebut bisa diberi nama garis secan atau garis AB. Garis AB mempunyai gradien atau kemiringan tertentu dan karena titik koordinat x dan y sudah diketahui nilainya maka rumus untuk memeroleh gradien garis AB berubah menjadi sebagai berikut

 

Kemudian, jika garis A dan B digeser saling berdekatan satu sama lain, maka lama kelamaan yang awalnya memotong fungsi f(x) di dua titik maka menjadi dapat memotong fungsi f(x) di satu titik saja yang dapat disebut garis tangen.

 

Dari perlakuan tersebut maka h akan mendekati nilai nol. Oleh karena itu, digunakanlah konsep limit sehingga rumusnya menjadi di bawah ini.

 

 

 

Nah, gradien garis singgung inilah yang disebut sebagai turunan fungsi.

 

Rumus Turunan Suatu Fungsi

Turunan suatu fungsi dinotasikan dengan f’(x) atau y’ atau d(f(x))/dx dibaca turunan fungsi f(x) atau dy/dx dibaca turunan dari y. Rumus turunan dari suatu fungsi yaitu sebagai berikiut.

 

Dari perlakuan tersebut maka h akan mendekati nilai nol. Oleh karena itu, digunakanlah konsep limit sehingga rumusnya menjadi di bawah ini.

 

Definisi Dan Rumus Diferensial

 

Definisi turunan

Definisi turunan aga susah kalau di berikan dalam bentuk kata (verbal).   bisa misalkan ada y yang merupakan fungsi dari x, ditulis y = f(x). Yang dimaksud dengan turun y terhadap x (dinotasikan dy/dx) atau sering ditulis y’ (baca : “y aksen”)  atau

Definisi Turunan adalah pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai yang dimasukan, atau secara umum turunan menunjukkan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya. Proses dalam menemukan turunan disebut diferensiasi.

Rumus Diferensial

Nah, gradien garis singgung inilah yang disebut sebagai turunan fungsi.

Rumus Turunan Suatu Fungsi

Turunan suatu fungsi dinotasikan dengan f’(x) atau y’ atau d(f(x))/dx dibaca turunan fungsi f(x) atau dy/dx dibaca turunan dari y. Rumus turunan dari suatu fungsi yaitu sebagai berikut.

 

https://rstudio-pubs-static.s3.amazonaws.com/839987_e916f84756be4af3897916733c13c87d.html

 

 

Rumus – Rumus Turunan Fungsi Matematika

Rumus 1 : Jika y = cxⁿ dengan c dan n konstanta real , maka dy/dx = cn x^n-1

contoh
y = 2x⁴ maka dy/dx = 4.2x^4-1 = 8x³
kadang ada soal yang pakai pangkat pecahan atau akar
y = 2√x = 2x^1/2 turunannya adalah 1/2.2 x ^(1/2-1) = x ^-1/2 = 1/√x

Rumus 2 : Jika y = c dengan c adalah konstanta maka dy/dx = 0
contoh jika y = 6 maka turunannya adalah sama dengan nol (0)

Rumus 3 : Jika y = f(x) + g(x) maka turunannya sama dengan turunan dari masing-masing fungsi = f'(x) + g'(x)
contoh
y = x³ + 2x² maka y’ = 3x² + 4x
y = 2x⁵ + 6 maka y’ = 10x⁴ + 0 = 10x⁴

Rumus 4 : Turunan Perkalian Fungsi Jika y= f(x).g(x) maka y’ = f'(x) . g(x) + g'(x) . f(x)
contoh
y = x² (x²+2) maka
f(x) = x²
f'(x) = 2x
g(x) = x²+2
g'(x) = 2x
kita masukkan ke rumus y’ = f'(x) . g(x) + g'(x) . f(x)
y’ = 2x (x²+2) + 2x . x²
y’ = 4x³ + 4x (jawaban ini juga bisa sobat peroleh dengan mengalikan terlebih dahulu lalu menggunakan rumus 3)

Rumus 5 : Turunan Pembagian Fungsi

contoh soalnya

Rumus 6 : jika   y = [f(x)]ⁿ maka turunannya adalah n [f(x)]^n-1 . f'(x)

contoh

 

 

Rumus 7 : Turunan Logaritma Natural misal y = ln f(x) maka turunannya

contoh soal

Rumus 8 : e^f(x) maka dy/dx = e^f(x).f'(x)
contoh :
y = e^2x+1
f(x) = 2x+1
f'(x) = 2
maka f’ = e^2x+1 . 2 = 2e^2x+1

Rumus 9 : Turunan Trigonometri Sin

Jika sobat punya y = sin f(x) maka turunannya adalah y’ = cos f(x) . f'(x)
contoh :
y = sin(x² + 1) maka
y’ = cos (x² +1) . 2x = 2x. cos (x² +1)

Rumus 10 : Turunan Trigonometri Cos

Jika   punya y = cos f(x) maka turunanya adalah y’ = -sin f(x). f'(x)
contoh :
y = cos (2x+1) maka turunannya
y’ = -sin (2x+1) . 2 = -2 sin (2x+1)

Rumus Turunan Kedua
rumus turunan kedua sama dengan turunan dari turunan pertama (sobat turunkan sebanyak dua kali). Turunan kedua sobat peroleh dengan menurunkan turunan pertama. Contoh :
Turunan kedua dari x³ + 4x²
turunan pertama = 3x² + 8x
turunan kedua = 6x + 8